中学数学／連立方程式その１ ― 2005/10/12 00:21
問題 濃度が３％の食塩水と８％の食塩水を混ぜて、６％の食塩水を６００グラム作りたい。それぞれ何グラムずつ混ぜればよいか求めよ。
この問題は１次方程式でも解けますが、普通は連立方程式で解くことが多いようです。
パーセントの問題は苦手な人が多いようですね。確かに簡単ではないかも知れませんが、はじめから諦めてしまうほどではありません。
方向性 食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さについての式を作り、連立方程式を解く。
解法 文章問題では、まずはじめに何を文字で表すのかを書いておきます。
たいていは求めるものを文字で表します。
この問題では「３％の食塩水の重さを ｘ グラム、８％の食塩水の重さを ｙ グラムとする。」
このように書きます。（もちろん完全にはこのままでなくてもＯＫです）ここで、「重さ」と単位は忘れずに書きます。これをちゃんと書かないと途中で混乱することが多いです。
あとは、問題の条件に合わせて、食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さの式を作ります。文字が二つなので、解くためには式も二つ必要です。
食塩水の重さについての式は・・・
３％の食塩水の重さと８％の食塩水の重さを足すと、６００グラムになる。
と考えて作ります。
食塩水に含まれる食塩の重さについての式は・・・
３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さと８％の食塩水 ｙ グラムに含まれる食塩の重さを足すと、６％の食塩水６００グラムに含まれる食塩の重さになる。
と考えて作ります。
こっちはちょっとややこしいですね。少し解説しましょう。
「３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さ」をどうすれば表せるかというと・・・
「３％の食塩水」は、その食塩水の重さのうちの３％が食塩の重さです。よって、この問題では ｘ グラムの３％が食塩です。３％は ３／１００ なので、（３／１００）ｘ が「３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さ」になります。
８％の食塩水、６％の食塩水についてもそれぞれこのようにすれば表せるはずです。
二つ式ができたら連立させて解けばＯＫ！
この問題は１次方程式でも解けますが、普通は連立方程式で解くことが多いようです。
パーセントの問題は苦手な人が多いようですね。確かに簡単ではないかも知れませんが、はじめから諦めてしまうほどではありません。
方向性 食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さについての式を作り、連立方程式を解く。
解法 文章問題では、まずはじめに何を文字で表すのかを書いておきます。
たいていは求めるものを文字で表します。
この問題では「３％の食塩水の重さを ｘ グラム、８％の食塩水の重さを ｙ グラムとする。」
このように書きます。（もちろん完全にはこのままでなくてもＯＫです）ここで、「重さ」と単位は忘れずに書きます。これをちゃんと書かないと途中で混乱することが多いです。
あとは、問題の条件に合わせて、食塩水の重さについての式と、食塩水に含まれる食塩の重さの式を作ります。文字が二つなので、解くためには式も二つ必要です。
食塩水の重さについての式は・・・
３％の食塩水の重さと８％の食塩水の重さを足すと、６００グラムになる。
と考えて作ります。
食塩水に含まれる食塩の重さについての式は・・・
３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さと８％の食塩水 ｙ グラムに含まれる食塩の重さを足すと、６％の食塩水６００グラムに含まれる食塩の重さになる。
と考えて作ります。
こっちはちょっとややこしいですね。少し解説しましょう。
「３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さ」をどうすれば表せるかというと・・・
「３％の食塩水」は、その食塩水の重さのうちの３％が食塩の重さです。よって、この問題では ｘ グラムの３％が食塩です。３％は ３／１００ なので、（３／１００）ｘ が「３％の食塩水 ｘ グラムに含まれる食塩の重さ」になります。
８％の食塩水、６％の食塩水についてもそれぞれこのようにすれば表せるはずです。
二つ式ができたら連立させて解けばＯＫ！
中学数学／連立方程式その２ ― 2005/10/12 00:25
問題 濃度が３％の食塩水と８％の食塩水を混ぜて、６％の食塩水を６００グラム作りたい。それぞれ何グラムずつ混ぜればよいか求めよ。
この問題は連立方程式の文章問題その１に解説したのと同じ問題です。
その１では正攻法の解き方を説明しましたが、今回は普通はやらない解き方もやってみちゃいます。ただし、この解き方を使うと不正解になってしまう場合があるかも知れません。ご注意ください。
方向性 例えば、３％の食塩水と８％の食塩水が同じだけあったら・・・？
解法 もし、３％の食塩水が６００グラム、８％の食塩水が０グラムあったら、
これらを混ぜる（？）と、３％の食塩水が６００グラムできます。
また、３％の食塩水が０グラム、８％の食塩水が６００グラムあったとしたなら、これらを混ぜる（？）と、８％の食塩水が６００グラムできます。
（「そりゃそうだ」という声が聞こえてきそう・・・(^^;）
さらに、３％の食塩水と８％の食塩水が３００グラムずつあったとしたなら、これらを混ぜると、５．５％の食塩水が６００グラムできますよね。
もう少しだけ８％の食塩水の量が多かったら、６％になります。あと、０．５％だけ足りません。
ここまでいいですか？
以上のことをよく考えてみると・・・混ぜる前の食塩水のそれぞれの重さと、混ぜた後の食塩水の濃度に、ある一定の関係があることがわかります。よね？
３％の食塩水が６００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は３％。
３％の食塩水が３００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は５．５％。
３％の食塩水が０グラムだったときは、混ぜた後の濃度は８％ですね。
つまり、３％の食塩水が３００グラム減ると、濃度は２．５％増えるのです。
よって、濃度を０．５％増やすためには・・・
この問題は連立方程式の文章問題その１に解説したのと同じ問題です。
その１では正攻法の解き方を説明しましたが、今回は普通はやらない解き方もやってみちゃいます。ただし、この解き方を使うと不正解になってしまう場合があるかも知れません。ご注意ください。
方向性 例えば、３％の食塩水と８％の食塩水が同じだけあったら・・・？
解法 もし、３％の食塩水が６００グラム、８％の食塩水が０グラムあったら、
これらを混ぜる（？）と、３％の食塩水が６００グラムできます。
また、３％の食塩水が０グラム、８％の食塩水が６００グラムあったとしたなら、これらを混ぜる（？）と、８％の食塩水が６００グラムできます。
（「そりゃそうだ」という声が聞こえてきそう・・・(^^;）
さらに、３％の食塩水と８％の食塩水が３００グラムずつあったとしたなら、これらを混ぜると、５．５％の食塩水が６００グラムできますよね。
もう少しだけ８％の食塩水の量が多かったら、６％になります。あと、０．５％だけ足りません。
ここまでいいですか？
以上のことをよく考えてみると・・・混ぜる前の食塩水のそれぞれの重さと、混ぜた後の食塩水の濃度に、ある一定の関係があることがわかります。よね？
３％の食塩水が６００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は３％。
３％の食塩水が３００グラムだったときは、混ぜた後の濃度は５．５％。
３％の食塩水が０グラムだったときは、混ぜた後の濃度は８％ですね。
つまり、３％の食塩水が３００グラム減ると、濃度は２．５％増えるのです。
よって、濃度を０．５％増やすためには・・・
＜英語変＞もちこん？ ― 2005/10/12 01:10
家庭教師の授業時間中に、教科書の文を訳していたところ、次のような文がありました。
"One day in fall, she went to the airfield with her friends."
中学生のＹちゃんは次のように訳しました。
「２，３日後、彼女は友達といっしょに飛行じょべ行った。」
"Of course."
同じくＹちゃんは次のように訳しました。
「もちこん。」
（キミの日本語は一体・・・？）
"One day in fall, she went to the airfield with her friends."
中学生のＹちゃんは次のように訳しました。
「２，３日後、彼女は友達といっしょに飛行じょべ行った。」
"Of course."
同じくＹちゃんは次のように訳しました。
「もちこん。」
（キミの日本語は一体・・・？）
高校数学／解の判別 ― 2005/10/12 14:13
問題 二次方程式 ｘ＾２＋２ｋｘ＋ｋ＋２＝０ の解を判別せよ。
この問題はちょっと面倒ですが、二次関数や二次不等式が理解できていれば、簡単です。
方向性 判別式に代入し、Ｄとｋについての二次関数ととらえる。
解法 まずは判別式に代入します。Ｄ＝ｂ＾２－４ａｃ でしたね。この問題の場合はＤ／４＝ｂ’＾２－ａｃ に代入しても構いません。
代入し、まとめると、 Ｄ＝ｋ＾２－ｋ－２ になります。この式を利用して解の判別をするわけですが、さて、ここから何をしたらいいんだろう・・・？ と止まってしまう人がいますね。
でも、よく見ると・・・Ｄとｋについての二次関数になっています。Ｄをｙに、ｋをｘに置き換えてみれば、普通の二次関数の式です。
縦軸にＤ、横軸にｋをとってグラフを描いてみます。普通の二次関数と同じ事が理解できましたか？それが理解できれば、二次方程式や二次不等式を解くだけです。
あとは、Ｄ＞０，Ｄ＝０，Ｄ＜０のそれぞれの場合にｋの範囲がどうなるかを考えればいいのです。
この問題はちょっと面倒ですが、二次関数や二次不等式が理解できていれば、簡単です。
方向性 判別式に代入し、Ｄとｋについての二次関数ととらえる。
解法 まずは判別式に代入します。Ｄ＝ｂ＾２－４ａｃ でしたね。この問題の場合はＤ／４＝ｂ’＾２－ａｃ に代入しても構いません。
代入し、まとめると、 Ｄ＝ｋ＾２－ｋ－２ になります。この式を利用して解の判別をするわけですが、さて、ここから何をしたらいいんだろう・・・？ と止まってしまう人がいますね。
でも、よく見ると・・・Ｄとｋについての二次関数になっています。Ｄをｙに、ｋをｘに置き換えてみれば、普通の二次関数の式です。
縦軸にＤ、横軸にｋをとってグラフを描いてみます。普通の二次関数と同じ事が理解できましたか？それが理解できれば、二次方程式や二次不等式を解くだけです。
あとは、Ｄ＞０，Ｄ＝０，Ｄ＜０のそれぞれの場合にｋの範囲がどうなるかを考えればいいのです。
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